Завистники утверждают, что французский математик Пьер Ферма вписал свое имя в историю всего одной фразой. На полях рукописи с формулировкой знаменитой теоремы в 1637 году он сделал пометку: "Я нашел удивительное решение, но здесь маловато места, чтобы его поместить". Тогда и началась удивительная математическая гонка, в которую наряду с выдающимися учеными включилась армия дилетантов.
В чем коварство задачи Ферма? На первый взгляд, она понятна даже школьнику.
В основе - известная каждому теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: х 2 + у 2 = z 2 . Ферма утверждал: уравнение при любых степенях больше двух не имеет решения в целых числах.
Казалось бы, просто. Протяни руку, и вот ответ. Неудивительно, что академии разных стран, научные институты, даже редакции газет были завалены десятками тысяч доказательств. Их число беспрецедентно, уступает разве что проектам "вечных двигателей". Но если эти сумасшедшие идеи серьезная наука давно не рассматривает, то работы "фермистов" честно и заинтересованно изучает. И, увы, находит ошибки. Говорят, что за три с лишним века образовалось целое математическое кладбище решений теоремы.
Не зря говорят: близок локоть, а не укусишь. Проходили года, десятилетия, века, и задача Ферма представлялась все более удивительной и заманчивой. Вроде бы простенькая, она оказалась не по зубам стремительно наращивающему мускулы прогрессу. Человек уже расщепил атом, добрался до гена, ступил на Луну, а Ферма не давался, продолжая манить потомков ложными надеждами.
Однако попытки одолеть научную вершину не прошли даром. Первый шаг сделал великий Эйлер, доказав теорему для четвертой степени, затем для третьей. В конце XIX века немец Эрнст Куммер довел число степеней до ста. Наконец, вооружившись компьютерами, ученые увеличили эту цифру до 100 тысяч. Но Ферма-то говорил о любых степенях. В этом состояла вся загвоздка.
Конечно, мучились ученые над задачей не из-за спортивного интереса. Знаменитый математик Давид Гильберт говорил, что теорема - это пример, как вроде бы малозначительная проблема может оказать на науку огромное влияние. Работая над ней, ученые открыли совершенно новые математические горизонты, например, были заложены фундаменты теории чисел, алгебры, теории функций.
И все же Великая теорема была в 1995 году покорена. Ее решение представил американец из Принстонского университета Эндрю Уайлс, и оно официально признано научным сообществом. Более семи лет жизни отдал он, чтобы найти доказательство. По мнению ученых, эта выдающаяся работа свела воедино труды многих математиков, восстановив утраченные связи между разными ее разделами.
Итак, вершина взята, и наука ответ получила, - сказал корреспонденту "РГ" ученый секретарь Отделения математики Российской академии наук, доктор технических наук Юрий Вишняков. - Теорема доказана, пусть и не простейшим способом, на чем настаивал сам Ферма. А теперь желающие могут печатать свои варианты.
Однако семейство "фермистов" вовсе не собирается признавать доказательство Уайлса. Нет, они не опровергают решение американца, ведь оно очень сложное, а потому понятно лишь узкому кругу специалистов. Но не проходит недели, чтобы в Интернете ни появилось новое откровение очередного энтузиаста, "наконец-то поставившего точку в многолетней эпопее".
Кстати, буквально вчера в редакцию "РГ" позвонил один из старейших в нашей стране "фермистов" Всеволод Ярош: "А вы знаете, что теорему Ферма я доказал еще до Уайлса. Более того, потом нашел у него ошибку, о чем написал выдающемуся нашему математику академику Арнольду с просьбой напечатать об этом в научном журнале. Теперь жду ответа. Переписываюсь по этому поводу и с французской академией наук".
И вот только что, как сообщается в ряде СМИ, с "легким изяществом раскрыл великую тайну математики", еще один энтузиаст - бывший генеральный конструктор ПО "Полет" из Омска, доктор технических наук Александр Ильин. Решение оказалось настолько простым и коротким, что поместилось на маленьком участке газетной площади одного из центральных изданий.
Редакция "РГ" обратилась в ведущий в стране Институт математики им. Стеклова РАН с просьбой оценить это решение. Ученые были категоричны: нельзя комментировать газетную публикацию. Но после долгих уговоров и учитывая повышенный интерес к знаменитой задаче, согласились. По их словам, в опубликованном очередном доказательстве допущено несколько принципиальных ошибок. Кстати, их вполне мог бы заметить даже студент математического факультета.
И все же редакция хотела получить информацию из первых рук. Тем более что вчера в академии авиации и воздухоплавания Ильин должен был представить свое доказательство. Однако оказалось, что о такой академии мало кто знает даже среди специалистов. А когда все-таки с величайшим трудом удалось разыскать телефон ученого секретаря этой организации, то, как выяснилось, он даже не подозревал, что именно у них должно состояться столь историческое событие. Словом, корреспонденту "РГ" стать свидетелем мировой сенсации так и не удалось.
Итак, Великая теорема Ферма (нередко называемая последней теоремой Ферма), сформулированная в 1637 году блестящим французским математиком Пьером Ферма, очень проста по своей сути и понятна любому человеку со средним образованием. Она гласит, что формула а в степени n + b в степени n = c в степени n не имеет натуральных (то есть не дробных) решений для n > 2. Вроде все просто и понятно, но лучшие ученые-математики и простые любители бились над поиском решения более трех с половиной веков.
Почему она так знаменита? Сейчас узнаем...
Мало ли доказанных, недоказанных и пока не доказанных теорем? Тут все дело в том, что Великая теорема Ферма являет собой самый большой контраст между простотой формулировки и сложностью доказательства. Великая теорема Ферма – задача невероятно трудная, и тем не менее ее формулировку может понять каждый с 5-ю классами средней школы, а вот доказательство – даже далеко не всякий математик-профессионал. Ни в физике, ни в химии, ни в биологии, ни в той же математике нет ни одной проблемы, которая формулировалась бы так просто, но оставалась нерешенной так долго. 2. В чем же она состоит?
Начнем с пифагоровых штанов Формулировка действительно проста – на первый взгляд. Как известно нам с детства, «пифагоровы штаны на все стороны равны». Проблема выглядит столь простой потому, что в основе ее лежало математическое утверждение, которое всем известно, – теорема Пифагора: в любом прямоугольном треугольнике квадрат, построенный на гипотенузе, равен сумме квадратов, построенных на катетах.
В V веке до н.э. Пифагор основал пифагорейское братство. Пифагорейцы, помимо прочего, изучали целочисленные тройки, удовлетворяющие равенству x²+y²=z². Они доказали, что пифагоровых троек бесконечно много, и получили общие формулы для их нахождения. Наверное, они пробовали искать тройки и более высоких степеней. Убедившись, что это не получается, пифагорейцы оставили бесполезные попытки. Члены братства были больше философами и эстетами, чем математиками.
То есть легко подобрать множество чисел, которые прекрасно удовлетворяют равенству x²+y²=z²
Начиная с 3, 4, 5 – действительно, младшекласснику понятно, что 9+16=25.
Или 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Замечательно.
Ну и так далее. А если взять похожее уравнение x³+y³=z³ ? Может, тоже есть такие числа?
И так далее (рис.1).
Так вот, оказывается, что их НЕТ. Вот тут начинается подвох. Простота – кажущаяся, потому что трудно доказать не наличие чего-то, а наоборот, отсутствие. Когда надо доказать, что решение есть, можно и нужно просто привести это решение.
Доказать отсутствие сложнее: например, некто говорит: такое-то уравнение не имеет решений. Посадить его в лужу? легко: бац – а вот оно, решение! (приведите решение). И все, оппонент сражен. А как доказать отсутствие?
Сказать: «Я не нашел таких решений»? А может, ты плохо искал? А вдруг они есть, только очень большие, ну очень, такие, что даже у сверхмощного компьютера пока не хватает силенок? Вот это-то и сложно.
В наглядном виде это можно показать так: если взять два квадратика подходящих размеров и разобрать на единичные квадратики, то из этой кучки единичных квадратиков получается третий квадратик (рис. 2):
А проделаем то же с третьим измерением (рис. 3) – не получается. Не хватает кубиков, или остаются лишние:
А вот математик XVII века француз Пьер де Ферма с увлечением исследовал общее уравнение x n +y n =z n . И, наконец, сделал вывод: при n>2 целочисленных решений не существует. Доказательство Ферма безвозвратно утеряно. Рукописи горят! Осталось лишь его замечание в «Арифметике» Диофанта: «Я нашел поистине удивительное доказательство этого предложения, но поля здесь слишком узки для того, чтобы вместить его».
Вообще-то, теорема без доказательства называется гипотезой. Но за Ферма закрепилась слава, что он никогда не ошибается. Даже если он не оставлял доказательства какого-нибудь утверждения, впоследствии оно подтверждалось. К тому же, Ферма доказал свой тезис для n=4. Так гипотеза французского математика вошла в историю как Великая теорема Ферма.
После Ферма над поиском доказательства работали такие великие умы, как Леонард Эйлер (в 1770 году им было предложено решение для n = 3),
Адриен Лежандр и Иоганн Дирихле (эти ученые в 1825 году совместно нашли доказательство для n = 5), Габриель Ламе (нашедший доказательство для n = 7) и многие другие. К середине 80-х годов прошлого века стало понятно, что ученый мир находится на пути к окончательному решению Великой теоремы Ферма, однако только в 1993 году математики увидели и поверили, что трехвековая эпопея по поиску доказательства последней теоремы Ферма практически закончилась.
Легко показывается, что теорему Ферма достаточно доказать только для простых n: 3, 5, 7, 11, 13, 17, … При составных n доказательство остаётся в силе. Но и простых чисел бесконечно много…
В 1825 году, применив метод Софи Жермен, женщины-математика, Дирихле и Лежандр независимо друг от друга доказали теорему для n=5. В 1839 году тем же методом француз Габриель Ламе показал истинность теоремы для n=7. Постепенно теорему доказали почти для всех n, меньших ста.
Наконец, немецкий математик Эрнст Куммер в блестящем исследовании показал, что методами математики XIX века теорему в общем виде доказать нельзя. Премия Французской Академии Наук, учреждённая в 1847 году за доказательство теоремы Ферма, осталась невручённой.
В 1907 году богатый немецкий промышленник Пауль Вольфскель из-за неразделённой любви решил свести счёты с жизнью. Как истинный немец он назначил дату и время самоубийства: ровно в полночь. В последний день он составил завещание и написал письма друзьям и родственникам. Дела закончились раньше полночи. Надо сказать, что Пауль интересовался математикой. От нечего делать он пошёл в библиотеку и принялся читать знаменитую статью Куммера. Неожиданно ему показалось, что Куммер в ходе рассуждений совершил ошибку. Вольфскель стал с карандашом в руках разбирать это место статьи. Полночь миновала, наступило утро. Пробел в доказательстве был восполнен. Да и сам повод для самоубийства теперь выглядел совершенно нелепым. Пауль разорвал прощальные письма и переписал завещание.
Вскоре он умер естественной смертью. Наследники были изрядно удивлены: 100 000 марок (более 1 000 000 нынешних фунтов стерлингов) передавались на счёт Королевского научного общества Гёттингена, которое в том же году объявило о проведении конкурса на соискание премии Вольфскеля. 100 000 марок полагались доказавшему теорему Ферма. За опровержение теоремы не полагалось ни пфеннига…
Большинство профессиональных математиков считали поиск доказательства Великой теоремы Ферма безнадёжным делом и решительно отказывались тратить время на такое бесполезное занятие. Зато любители порезвились на славу. Через несколько недель после объявления на Гёттингенский университет обрушилась лавина «доказательств». Профессор Э. М. Ландау, в обязанность которого входил разбор присланных доказательств, раздал своим студентам карточки:
Уважаемый(ая) . . . . . . . .
Благодарю Вас за присланную Вами рукопись с доказательством Великой теоремы Ферма. Первая ошибка находится на стр. ... в строке... . Из-за неё всё доказательство утрачивает силу.
Профессор Э. М. Ландау
В 1963 году Пауль Коэн, опираясь на выводы Гёделя, доказал неразрешимость одной из двадцати трех проблем Гильберта — гипотезы континуума. А что, если Великая теорема Ферма тоже неразрешима?! Но истинных фанатиков Великой теоремы это ничуть не разочаровало. Появление компьютеров неожиданно дало математикам новый метод доказательства. После Второй мировой войны группы программистов и математиков доказали Великую теорему Ферма при всех значениях n до 500, затем до 1 000, а позже до 10 000.
В 80-е годы Сэмюэль Вагстафф поднял предел до 25 000, а в 90-ых математики заявили, что Великая теорема Ферма верна при всех значениях n до 4 миллионов. Но если от бесконечности отнять даже триллион триллионов, она не станет меньше. Математиков не убеждает статистика. Доказать Великую теорему значило доказать её для ВСЕХ n, уходящих в бесконечность.
В 1954 году два молодых японских друга-математика занялись исследованием модулярных форм. Эти формы порождают ряды чисел, каждая - свой ряд. Случайно Танияма сравнил эти ряды с рядами, порождаемыми эллиптическими уравнениями. Они совпадали! Но модулярные формы – геометрические объекты, а эллиптические уравнения – алгебраические. Между столь разными объектами никогда не находили связи.
Тем не менее, друзья после тщательной проверки выдвинули гипотезу: у каждого эллиптического уравнения существует двойник – модулярная форма, и наоборот. Именно эта гипотеза стала фундаментом целого направления в математике, но до тех пор, пока гипотеза Таниямы–Симуры не была доказана, всё здание могло рухнуть в любой момент.
В 1984 году Герхард Фрей показал, что решение уравнения Ферма, если оно существует, можно включить в некоторое эллиптическое уравнение. Двумя годами позже профессор Кен Рибет доказал, что это гипотетическое уравнение не может иметь двойника в модулярном мире. Отныне Великая теорема Ферма была нерасторжимо связана с гипотезой Таниямы–Симуры. Доказав, что любая эллиптическая кривая модулярна, мы делаем вывод, что эллиптического уравнения с решением уравнения Ферма не существует, и Великая теорема Ферма была бы тотчас же доказана. Но в течение тридцати лет доказать гипотезу Таниямы–Симуры не удавалось, и надежд на успех оставалось всё меньше.
В 1963 году, когда ему было всего десять лет, Эндрю Уайлс уже был очарован математикой. Когда он узнал о Великой теореме, то понял, что не сможет отступиться от неё. Школьником, студентом, аспирантом он готовил себя к этой задаче.
Узнав о выводах Кена Рибета, Уайлс с головой ушёл в доказательство гипотезы Таниямы–Симуры. Он решил работать в полной изоляции и секретности. «Я понимал, что всё, что имеет какое-то отношение к Великой теореме Ферма, вызывает слишком большой интерес… Слишком много зрителей заведомо мешают достижению цели». Семь лет упорной работы принесли плоды, Уайлс наконец завершил доказательство гипотезы Таниямы–Симуры.
В 1993 году английский математик Эндрю Уайлс представил миру свое доказательство Великой теоремы Ферма (Уайльс прочитал свой сенсационный доклад на конференции в Институте сэра Исаака Ньютона в Кембридже.) , работа над которым продолжалась более семи лет.
Пока в печати продолжалась шумиха, началась серьёзная работа по проверке доказательства. Каждый фрагмент доказательства должен быть тщательно изучен прежде, чем доказательство может быть признано строгим и точным. Уайлс провёл беспокойное лето в ожидании отзывов рецензентов, надеясь, что ему удастся получить их одобрение. В конце августа эксперты нашли недостаточно обоснованное суждение.
Оказалось, что данное решение содержит грубую ошибку, хотя в целом и верно. Уайлс не сдался, призвал на помощь известного специалиста в теории чисел Ричарда Тейлора, и уже в 1994 году они опубликовали исправленное и дополненное доказательство теоремы. Самое удивительное, что эта работа заняла целых 130 (!) полос в математическом журнале «Annals of Mathematics». Но и на этом история не закончилась — последняя точка была поставлена только в следующем, 1995 году, когда в свет вышел окончательный и «идеальный», с математической точки зрения, вариант доказательства.
«…через полминуты после начала праздничного обеда по случаю её дня рождения, я подарил Наде рукопись полного доказательства» (Эндрю Уальс). Я ещё не говорил, что математики странные люди?
На этот раз никаких сомнений в доказательстве не было. Две статьи были подвергнуты самому тщательному анализу и в мае 1995 года были опубликованы в журнале «Annals of Mathematics».
С того момента прошло немало времени, однако в обществе до сих пор бытует мнение о неразрешимости Великой теоремы Ферма. Но даже те, кто знает о найденном доказательстве, продолжают работу в этом направлении — мало кого устраивает, что Великая теорема требует решения в 130 страниц!
Поэтому сейчас силы очень многих математиков (в основном это любители, а не профессиональные ученые) брошены на поиски простого и лаконичного доказательства, однако этот путь, скорее всего, не приведет никуда...
Пьер Ферма утверждал, что:
невозможно разложить куб на два куба или биквадрат на два биквадрата и вообще невозможно разложить какую-либо степень, большую чем два, на две степени с таким же показателем.
Как же подойти к доказательству этого утверждения Ферма?
(картинка для привлечения внимания)
Представим себе, что мы нашли или построили прямоугольный треугольник со следующими сторонами: катеты - , и гипотенузой где (p, q, k, n) - числа натуральные. Тогда по теореме Пифагора получим или . Таким образом, если мы найдем или построим такой треугольник, то мы опровергнем Ферма. Если же мы докажем, что такой треугольник не существует, то мы докажем теорему.
Так как в утверждении речь идёт о натуральных числах, то найдем, чему равняется разность квадратов двух нечетных натуральных чисел. Т.е. решим уравнение . Для этого построим прямоугольные треугольники, гипотенуза которых равна , а катет равен , где и (a > b) . Тогда по теореме Пифагора можно вычислить второй катет по формуле (1) , или (2) . Мы получили, что стороны этих треугольников равны и . Таким образом, мы можем перебрать все пары чисел a и b из натурального множества (назовем эти числа “генераторами” данного тождества) и получить все возможные треугольники с заданными свойствами , . Докажем необходимость данного решения. Перепишем (1) в виде . Так как Z и Y нечетные числа, значит можно написать (Z - Y) = 2b и (Z + Y)=2a. Решая их относительно Z и Y, получим Z = (a + b) и Y = (a - b). Тогда можно записать, что X = 4ab и, подставляя эти значения в (1) , получим .
Примечание
Чтобы избежать получения подобных треугольников, и, учитывая, что Z и Y - нечетные числа по условию, числа a и b должны быть взаимно простыми и разной четности. Далее будем считать, что четным является число a . Для того, чтобы упорядочить распределение прямоугольных треугольников в множестве натуральных чисел N , поступим следующим образом: из этого множества вычтем все числа, которые являются четными степенями натуральных чисел. Обозначим это множество , где n - натуральное число. Затем из оставшихся натуральных чисел вычтем все числа, которые являются нечетными (≥3) степенями натуральных чисел и обозначим множество этих чисел как . Оставшиеся натуральные числа составят множество, числа которого есть натуральные числа в первой степени. Обозначим это множество . Очевидно, соединение этих 3-х множеств есть множество натуральных чисел, или . Множество представим как ряд = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17,………}. Представим множества и в виде рядов. Тогда множество будет представлять собой матрицу, состоящую из бесконечного числа строк, каждая строка будет состоять из чисел ряда , возведенных в степень 2n , а n - есть номер строки. Так первая строка состоит из квадратов всех чисел ряда , вторая строка состоит из 4-х степеней этих чисел и т.д. Рассмотрим множество , которое будет представлять собой матрицу, состоящую из бесконечного числа строк, каждая строка которой будет состоять из чисел ряда , возведенных в степень 2n+1 . (n - есть номер строки). Так первая строка этой матрицы состоит из кубов чисел ряда , вторая строка состоит из чисел ряда в пятой степени и т.д. Рассмотрим множество . Т.к. , то примем тот же алгоритм построения треугольников (см. выше). Найдем «генераторы» тождества, Это будут числа , где , составим тождество: (3) , мы получили множество прямоугольных треугольников с целочисленными сторонами. Здесь - гипотенуза, - катет и - второй катет. Для опровержения утверждения Ферма нужно, чтобы стороны X, Y, Z искомого треугольника равнялись (4) . Где (p, q, k, n) - натуральные числа. По теореме Пифагора будем иметь или
и утверждение Ферма будет опровергнуто. Из тождества видно, что . Рассмотрим последнее равенство , в этом равенстве «p
» ни при каких значениях «a
и b
» не будет натуральным числом, если . Это означает, что в рассмотренном множестве треугольников не существует ни одного треугольника с искомыми сторонами (4)
.Теперь рассмотрим множество . Обозначим (2n+1) как «m », тогда во множестве получим прямоугольные треугольники, описываемые тождеством (6) . Если мы сможем построить прямоугольный треугольник X, Y, Z со сторонами (7) , где , то мы опровергнем утверждение Ферма, т.к. по теореме Пифагора и (p, q и k) - натуральные числа. Надо, чтобы . Рассматривая последнее равенство заметим, что «p » не может быть натуральным числом ни при каких значениях «a и b », , если . Значит и в этом множестве треугольников не существует ни одного треугольника с искомыми сторонами (7) .
Однако из вышесказанного видно, что все доказательство сводится к анализу числа , где «» при любых натуральных «a и b » не будет натуральным числом в степени «m/2 ». Или же (8) при тех же условиях не будет натуральным числом в степени «m». Из доказательства видно, что «генераторами» тождества (6) являются числа «» из ряда Но, анализируя (8) , можно подставить вместо «» число . Так как есть четное число, (см.Примечание), то - натуральное число. После подстановки его в (8) получим , то есть натуральные числа в степени «m». Совершив вышеуказанную подстановку в тождество (6) , и, обозначив через , получим следующее тождество: . Мы получили множество прямоугольных треугольников со сторонами . Если (k,q, p) - натуральные числа в нечетной степени, т.е. где r - любое нечетное число, а . Чтобы опровергнуть Ферма нужно, чтобы: В последнем равенстве при любых натуральных a и b , - числа натуральные, но первые два равенства невозможны, так как, если «m и r » любые нечетные числа, то - иррациональные числа, а числа в скобках - числа натуральные. Если же (k,q, p) - натуральные числа в четной степени, т.е. , то мы получим следующие равенства (5) . В данном варианте последнее равенство невозможно, т.к. извлекая корень m степени из обеих частей равенства получим , т.е. в скобках иррациональное число, а - натуральное. Это значит, что и в этом множестве не найдено «нужного» треугольника. А это значит, что для любых нечетных «m » утверждение Ферма верно, а значит, верно, для всех простых показателей «m ≥ 3».
Остается найти доказательство теоремы для четных показателей. Из (5) следует, что, если в каноническом разложении четного показателя степени есть нечетное простое число, то утверждение Ферма для этой степени верно. Очевидно, что этому условию отвечают все четные числа, кроме числа «4 » и чисел кратных четырем, т.е. 8, 16, 32, 64 … и т.д. В разложении этих чисел есть только простое число 2 . Поэтому вышеприведенное доказательство не дает ответа для этих степеней.
Значит остается доказать теорему для «n = 4 ». Можно предположить, что у Ферма было общее доказательство, но не полное. Может быть, поэтому он и не записал свое доказательство. И только через несколько лет, создав свой метод «бесконечного или неопределенного спуска», он доказал, что не существует прямоугольного треугольника с целочисленными сторонами, у которого площадь равнялась бы квадрату натурального числа. После этого доказательство теоремы для «n = 4 » не составило труда. Это доказательство Ферма записал. И теорема оказалась доказанной полностью.
Теги: теорема Ферма, краткое доказательство
Пьер Ферма, читая «Арифметику» Диофанта Александрийского и размышляя над её задачами, имел привычку записывать на полях книги результаты своих размышлений в виде кратких замечаний. Против восьмой задачи Диофанта на полях книги, Ферма записал: «Наоборот, невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата, и, вообще, никакую степень, большую квадрата на две степени с тем же показателем. Я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком узки » /Э.Т.Белл «Творцы математики». М.,1979, стр.69 /. Предлагаю Вашему вниманию элементарное доказательство теоремы ферма, которое может понять любой старшеклассник, увлекающийся математикой.
Сравним комментарий Ферма к задаче Диофанта с современной формулировкой великой теоремы Ферма, имеющей вид уравнения.
«Уравнение
x n + y n = z n (где n – целое число большее двух)
не имеет решений в целых положительных числах »
Комментарий находится с задачей в логической связи, аналогичной логической связи сказуемого с подлежащим. То, что утверждается задачей Диофанта, наоборот утверждается комментарием Ферма.
Комментарий Ферма можно так трактовать: если квадратное уравнение с тремя неизвестными имеет бесконечное множество решений на множестве всех троек пифагоровых чисел, то, наоборот, уравнение с тремя неизвестными в степени, большей квадрата
В уравнении нет даже намека на его связь с задачей Диофанта. Его утверждение требует доказательства, но при нём нет условия, из которого следует, что оно не имеет решений в целых положительных числах.
Известные мне варианты доказательства уравнения сводятся к следующему алгоритму.
- Уравнение теоремы Ферма принимается за её заключение, в справедливости которого убеждаются при помощи доказательства.
- Это же уравнение называют исходным уравнением, из которого должно исходить его доказательство.
В результате образовалась тавтология: «Если уравнение не имеет решений в целых положительных числах, то оно не имеет решений в целых положительных числах ».Доказательство тавтологии заведомо является неправильным и лишенным всякого смысла. Но её доказывают методом от противного.
- Принимается предположение, противоположное тому, что утверждается уравнением, которое требуется доказать. Оно не должно противоречить исходному уравнению, а оно ему противоречит. Доказывать то, что принято без доказательства, и принимать без доказательства то, что требуется доказать, не имеет смысла.
- На основании принятого предположения выполняются абсолютно правильные математические операции и действия, чтобы доказать, что оно противоречит исходному уравнению и является ложным.
Поэтому вот уже 370 лет доказательство уравнения великой теоремы Ферма остаётся неосуществимой мечтой специалистов и любителей математики.
Я принял уравнение за заключение теоремы, а восьмую задачу Диофанта и её уравнение — за условие теоремы.
«Если уравнение x 2 + y 2 = z 2
(1) имеет бесконечное множество решений на множестве всех троек пифагоровых чисел, то, наоборот, уравнение x n + y n = z n
, где n > 2
(2) не имеет решений на множестве целых положительных чисел.»
Доказательство.
А) Всем известно, что уравнение (1) имеет бесконечное множество решений на множестве всех троек пифагоровых чисел. Докажем, что ни одна тройка пифагоровых чисел, являющаяся решением уравнения (1), не является решением уравнения (2).
На основании закона обратимости равенства, стороны уравнения (1) поменяем местами. Пифагоровы числа (z, х, у ) могут быть истолкованы как длины сторон прямоугольного треугольника, а квадраты ( x 2 , y 2 , z 2 ) могут быть истолкованы как площади квадратов, построенных на его гипотенузе и катетах.
Площади квадратов уравнения (1) умножим на произвольную высоту h :
z 2 h = x 2 h + y 2 h (3)
Уравнение (3) можно трактовать как равенство объема параллелепипеда сумме объёмов двух параллелепипедов.
Пусть высота трех параллелепипедов h = z :
z 3 = x 2 z + y 2 z (4)
Объем куба разложился на два объема двух параллелепипедов. Объём куба оставим без изменений, а высоту первого параллелепипед уменьшим до x и высоту второго параллелепипеда уменьшим до y . Объём куба больше суммы объёмов двух кубов:
z 3 > x 3 + y 3 (5)
На множестве троек пифагоровых чисел (х, у, z ) при n = 3 не может быть ни одного решения уравнения (2). Следовательно, на множестве всех троек пифагоровых чисел невозможно куб разложить на два куба.
Пусть в уравнении (3) высота трёх параллелепипедов h = z 2 :
z 2 z 2 = x 2 z 2 + y 2 z 2 (6)
Объем параллелепипеда разложился на сумму объёмов двух параллелепипедов.
Левую сторону уравнения (6) оставим без изменения. На правой его стороне высоту z 2
уменьшим до х
в первом слагаемом и до у 2
во втором слагаемом.
Уравнение (6) обратилось в неравенство:
Объем параллелепипеда разложился на два объема двух параллелепипедов.
Левую сторону уравнения (8) оставим без изменения.
На правой стороне высоту z n-2
уменьшим до x n-2
в первом слагаемом и уменьшим до y n-2
во втором слагаемом. Уравнение (8) обращается в неравенство:
| z n > x n + y n | (9) |
На множестве троек пифагоровых чисел не может быть ни одного решения уравнения (2).
Следовательно, на множестве всех троек пифагоровых чисел при всех n > 2 уравнение (2) не имеет решений.
Получено «постине чудесное доказательство», но только для троек пифагоровых чисел . В этом заключается недостаток доказательства и причина отказа П. Ферма от него.
B) Докажем, что уравнение (2) не имеет решений на множестве троек непифагоровых чисел, представляющем сбой семейство произвольно взятой тройки пифагоровых чисел z = 13, x = 12, y = 5 и семейство произвольно взятой тройки целых положительных чисел z = 21, x = 19, y = 16
Обе тройки чисел являются членами своих семейств:
| (13, 12, 12); (13, 12,11);…; (13, 12, 5) ;…; (13,7, 1);…; (13,1, 1) | (10) | |
| (21, 20, 20); (21, 20, 19);…;(21, 19, 16);…;(21, 1, 1) | (11) |
Число членов семейства (10) и (11) равно половине произведения 13 на 12 и 21 на 20, т. е. 78 и 210.
В каждом члене семейства (10) присутствует z = 13 и переменные х и у 13 > x > 0 , 13 > y > 0 1
В каждом члене семейства (11) присутствует z = 21 и переменные х и у , которые принимают значения целых чисел 21 > x >0 , 21 > y > 0 . Переменные последовательно убывают на 1 .
Тройки чисел последовательности (10) и (11) можно представить в виде последовательности неравенств третьей степени:
| 13 3 < 12 3 + 12 3 ;13 3 < 12 3 + 11 3 ;…; 13 3 < 12 3 + 8 3 ; 13 3 > 12 3 + 7 3 ;…; 13 3 > 1 3 + 1 3 | ||
| 21 3 < 20 3 + 20 3 ; 21 3 < 20 3 + 19 3 ; …; 21 3 < 19 3 + 14 3 ; 21 3 > 19 3 + 13 3 ;…; 21 3 > 1 3 + 1 3 |
и в виде неравенств четвертой степени:
| 13 4 < 12 4 + 12 4 ;…; 13 4 < 12 4 + 10 4 ; 13 4 > 12 4 + 9 4 ;…; 13 4 > 1 4 + 1 4 | ||
| 21 4 < 20 4 + 20 4 ; 21 4 < 20 4 + 19 4 ; …; 21 4 < 19 4 + 16 4 ;…; 21 4 > 1 4 + 1 4 |
Правильность каждого неравенства удостоверяется возвышением чисел в третью и в четвертую степень.
Куб большего числа невозможно разложить на два куба меньших чисел. Он или меньше, или больше, суммы кубов двух меньших чисел.
Биквадрат большего числа невозможно разложить на два биквадрата меньших чисел. Он или меньше, или больше, суммы биквадратов меньших чисел.
С возрастанием показателя степени все неравенства, кроме левого крайнего неравенства, имеют одинаковый смысл:
Неравенств они все имеют одинаковый смысл: степень большего числа больше суммы степеней меньших двух чисел с тем же показателем:
| 13 n > 12 n + 12 n ; 13 n > 12 n + 11 n ;…; 13 n > 7 n + 4 n ;…; 13 n > 1 n + 1 n | (12) | |
| 21 n > 20 n + 20 n ; 21 n > 20 n + 19 n ;…; ;…; 21 n > 1 n + 1 n | (13) |
Левый крайний член последовательностей (12) (13) представляет собой наиболее слабое неравенство. Его правильность определяет правильность всех последующих неравенств последовательности (12) при n > 8 и последовательности (13) при n > 14 .
Среди них не может быт ни одного равенства. Произвольно взятая тройка целых положительных чисел (21,19,16) не является решением уравнения (2) великой теоремы Ферма. Если произвольно взятая тройка целых положительных чисел не является решением уравнения, то уравнение не имеет решений на множестве целых положительных чисел, что и требовалось доказать.
С) В комментарии Ферма к задаче Диофанта утверждается, что невозможно разложить «вообще, никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем ».
Целую степень, большую квадрата, действительно невозможно разложить на две степени с тем же показателем. Нецелую степень, большую квадрата можно разложить на две степени с тем же показателем.
Любая произвольно взятая тройка целых положительных чисел (z, x, y) может принадлежать семейству, каждый член которого состоит из постоянного числа z и двух чисел, меньших z . Каждый член семейства может быть представлен в форме неравенства, а все полученные неравенства — в виде последовательности неравенств:
| z n < (z — 1) n + (z — 1) n ; z n < (z — 1) n + (z — 2) n ; …; z n > 1 n + 1 n | (14) |
Последовательность неравенств (14) начинается неравенствами, у которых левая сторона меньше правой стороны, а оканчивается неравенствами, у которых правая сторона меньше левой стороны. С возрастанием показателя степени n > 2 число неравенств правой стороны последовательности (14) увеличивается. При показателе степени n = k все неравенства левой стороны последовательности изменяют свой смысл и принимают смысл неравенств правой стороны неравенств последовательности (14). В результате возрастания показателя степени у всех неравенств левая сторона оказывается больше правой стороны:
| z k > (z-1) k + (z-1) k ; z k > (z-1) k + (z-2) k ;…; z k > 2 k + 1 k ; z k > 1 k + 1 k | (15) |
При дальнейшем возрастании показателя степени n > k ни одно из неравенств не изменяет своего смысла и не обращается в равенство. На этом основании можно утверждать, что любая произвольно взятая тройка целых положительных чисел (z, x, y) при n > 2 , z > x , z > y
В произвольно взятой тройке целых положительных чисел z может быть сколь угодно большим натуральным числом. Для всех натуральных чисел, которые не больше z , большая теорема Ферма доказана.
D) Каким бы ни было большим число z , в натуральном ряду чисел до него имеется большое, но конечное множество целых чисел, а после него – бесконечное множество целых чисел.
Докажем, что все бесконечное множество натуральных чисел, больших z , образуют тройки чисел, которые не являются решениями уравнения большой теоремы Ферма, например, произвольно взятая тройка целых положительных чисел (z + 1, x ,y) , в которой z + 1 > x и z + 1 > y при всех значениях показателя степени n > 2 не является решением уравнения большой теоремы Ферма.
Произвольно взятая тройка целых положительных чисел (z + 1, x, y) может принадлежать семейству троек чисел, каждый член которого состоят из постоянного числа z + 1 и двух чисел х и у , принимающих различные значения, меньшие z + 1 . Члены семейства могут быть представлены в форме неравенств, у которых постоянная левая сторона меньше, или больше, правой стороны. Неравенства можно упорядоченно расположить в виде последовательности неравенств:
При дальнейшем возрастании показателя степени n > k до бесконечности ни одно из неравенств последовательности (17) не изменяет своего смысла и не обращается в равенство. В последовательности (16) неравенство, образованное из произвольно взятой тройки целых положительных чисел (z + 1, x, y) , может находиться в её правой части в виде (z + 1) n > x n + y n или находиться в её левой части в виде (z + 1) n < x n + y n .
В любом случае тройка целых положительных чисел (z + 1, x, y) при n > 2 , z + 1 > x , z + 1 > y в последовательности (16) представляет собой неравенство и не может представлять собой равенства, т. е. не может представлять собой решения уравнения большой теоремы Ферма.
Легко и просто понять происхождение последовательности степенных неравенств (16), в которой последнее неравенство левой стороны и первое неравенство правой стороны являются неравенствами противоположного смысла. Наоборот, нелегко и непросто школьникам, старшекласснику и старшекласснице, понять, каким образом из последовательности неравенств (16) образуется последовательность неравенств (17), в которой все неравенства одинакового смысла.
В последовательности (16) увеличение целой степени неравенств на 1 единицу обращает последнее неравенство левой стороны в первое неравенство противоположного смысла правой стороны. Таким образом, количество неравенств девой стороны последовательности уменьшается, а количество неравенств правой стороны увеличивается. Между последним и первым степенными неравенствами противоположного смысла в обязательном порядке находится степенное равенство. Его степень не может быть целым числом, так как между двумя последовательными натуральными числами находятся только нецелые числа. Степенное равенство нецелой степени, по условию теоремы, не может считаться решением уравнения (1).
Если в последовательности (16) продолжать увеличение степени на 1 единицу, то последнее неравенство её левой стороны обратится в первое неравенство противоположного смысла правой стороны. В результате не останется ни одного неравенства левой стороны и останутся только неравенства правой стороны, которые представят собой последовательность усиливающихся степенных неравенств (17). Дальнейшее увеличение их целой степени на 1 единицу лишь усиливает её степенные неравенства и категорически исключает возможность появления равенства в целой степени.
Следовательно, вообще, никакую целую степень натурального числа (z+1) последовательности степенных неравенств (17) невозможно разложить на две целых степени с тем же показателем. Поэтому уравнение (1) не имеет решений на бесконечном множестве натуральных чисел, что и требовалось доказать.
Следовательно, большая теорема Ферма доказана во всей всеобщности:
- в разделе А) для всех троек (z, x, y) пифагоровых чисел (открытое Ферма поистине чудесное доказательство),
- в разделе В) для всех членов семейства любой тройки (z, x, y) пифагоровых чисел,
- в разделе С) для всех троек чисел (z, x, y) , не больших числа z
- в разделе D) для всех троек чисел (z, x, y) натурального ряда чисел.
|
Изменения внесены 05.09.2010 г. |
Какие теоремы можно и какие нельзя доказать от противного
В толковом словаре математических терминов дано определение доказательству от противного теоремы, противоположной обратной теореме.
«Доказательство от противного – метод доказательства теоремы (предложения), состоящий в том, что доказывают не саму теорему, а ей равносильную (эквивалентную), противоположную обратной (обратную противоположной) теорему. Доказательство от противного используют всякий раз, когда прямую теорему доказать трудно, а противоположную обратной легче. При доказательстве от противного заключение теоремы заменяется её отрицанием, и путём рассуждения приходят к отрицанию условия, т.е. к противоречию, к противному (противоположному тому, что дано; это приведение к абсурду и доказывает теорему».
Доказательство от противного очень часто применяется в математике. Доказательство от противного основано на законе исключённого третьего, заключающегося в том, что из двух высказываний (утверждений) А и А (отрицание А) одно из них истинно, а другое ложно». /Толковый словарь математических терминов: Пособие для учителей/О. В. Мантуров [и др.]; под ред. В. А. Диткина.- М.: Просвещение, 1965.- 539 с.: ил.-C.112/.
Не лучше было бы открыто заявить о том, что метод доказательства от противного не является математическим методом, хотя и используется в математике, что он является логическим методом и принадлежит логике. Допустимо ли утверждать, что доказательство от противного «используют всякий раз, когда прямую теорему доказать трудно», когда на самом деле его используют тогда, и только тогда, когда ему нет замены.
Заслуживает особого внимания и характеристика отношения друг к другу прямой и обратной ей теорем. «Обратная теорема для данной теоремы (или к данной теореме) — теорема, в которой условием является заключение, а заключением – условие данной теоремы. Данная теорема по отношению к обратной теореме называется прямой теоремой (исходной). В то же время обратная теорема к обратной теореме будет данной теоремой; поэтому прямая и обратная теоремы называются взаимно обратными. Если прямая (данная) теорема верна, то обратная теорема не всегда верна. Например, если четырёхугольник – ромб, то его диагонали взаимно перпендикулярны (прямая теорема). Если в четырёхугольнике диагонали взаимно перпендикулярны, то четырёхугольник есть ромб – это неверно, т. е. обратная теорема неверна». /Толковый словарь математических терминов: Пособие для учителей/О. В. Мантуров [и др.]; под ред. В. А. Диткина.- М.: Просвещение, 1965.- 539 с.: ил.-C.261 /.
Данная характеристика отношения прямой и обратной теорем не учитывает того, что условие прямой теоремы принимается как данное, без доказательства, так что его правильность не имеет гарантии. Условие обратной теоремы не принимается как данное, так как оно является заключением доказанной прямой теоремы. Его правильность засвидетельствована доказательством прямой теоремы. Это существенное логическое различие условий прямой и обратной теорем оказывается решающим в вопросе какие теоремы можно и какие нельзя доказать логическим методом от противного.
Допустим, что на примете имеется прямая теорема, которую доказать обычным математическим методом можно, но трудно. Сформулируем её в общем виде в краткой форме так: из А следует Е . Символ А имеет значение данного условия теоремы, принятого без доказательства. Символ Е имеет значение заключения теоремы, которое требуется доказать.
Доказывать прямую теорему будем от противного, логическим методом. Логическим методом доказывается теорема, которая имеет не математическое условие, а логическое условие. Его можно получить, если математическое условие теоремы из А следует Е , дополнить прямо противоположным условием из А не следует Е .
В результате получилось логическое противоречивое условие новой теоремы, заключающее в себе две части: из А следует Е и из А не следует Е . Полученное условие новой теоремы соответствует логическому закону исключённого третьего и соответствует доказательству теоремы методом от противного.
Согласно закону, одна часть противоречивого условия является ложной, другая его часть является истинной, а третье – исключено. Доказательство от противного имеет совей задачей и целью установить, именно какая часть из двух частей условия теоремы является ложной. Как только будет определена ложная часть условия, так будет установлено, что другая часть является истинной частью, а третье — исключено.
Согласно толковому словарю математических терминов, «доказательство есть рассуждение, в ходе которого устанавливается истинность или ложность какого-либо утверждения (суждения, высказывания, теоремы)» . Доказательство от противного есть рассуждение, в ходе которого устанавливается ложность (абсурдность) заключения, вытекающего из ложного условия доказываемой теоремы.
Дано: из А следует Е и из А не следует Е .
Доказать: из А следует Е .
Доказательство : Логическое условие теоремы заключает в себе противоречие, которое требует своего разрешения. Противоречие условия должно найти своё разрешение в доказательстве и его результате. Результат оказывается ложным при безупречном и безошибочном рассуждении. Причиной ложного заключения при логически правильном рассуждении может быть только противоречивое условие: из А следует Е и из А не следует Е .
Нет и тени сомнения в том, что одна часть условия является ложной, а другая в этом случае является истинной. Обе части условия имеют одинаковое происхождение, приняты как данные, предположенные, одинаково возможные, одинаково допустимые и т. д. В ходе логического рассуждения не обнаружено ни одного логического признака, который отличал бы одну часть условия от другой. Поэтому в одной и той же мере может быть из А следует Е и может быть из А не следует Е . Утверждение из А следует Е может быть ложным , тогда утверждение из А не следует Е будет истинным. Утверждение из А не следует Е может быть ложным, тогда утверждение из А следует Е будет истинным.
Следовательно, прямую теорему методом от противного доказать невозможно.
Теперь эту же прямую теорему докажем обычным математическим методом.
Дано: А .
Доказать: из А следует Е .
Доказательство.
1. Из А следует Б
2. Из Б следует В (по ранее доказанной теореме)).
3. Из В следует Г (по ранее доказанной теореме).
4. Из Г следует Д (по ранее доказанной теореме).
5. Из Д следует Е (по ранее доказанной теореме).
На основании закона транзитивности, из А следует Е . Прямая теорема доказана обычным методом.
Пусть доказанная прямая теорема имеет правильную обратную теорему: из Е следует А .
Докажем её обычным математическим методом. Доказательство обратной теоремы можно выразить в символической форме в виде алгоритма математических операций.
Дано: Е
Доказать: из Е следует А .
Доказательство.
1. Из Е следует Д
2. Из Д следует Г (по ранее доказанной обратной теореме).
3. Из Г следует В (по ранее доказанной обратной теореме).
4. Из В не следует Б (обратная теорема неверна). Поэтому и из Б не следует А .
В данной ситуации продолжать математическое доказательство обратной теоремы не имеет смысла. Причина возникновения ситуации – логическая. Неверную обратную теорему ничем заменить невозможно. Следовательно, данную обратную теорему доказать обычным математическим методом невозможно. Вся надежда – на доказательство данной обратной теоремы методом от противного.
Чтобы её доказать методом от противного, требуется заменить её математическое условие логическим противоречивым условием, заключающим в себе по смыслу две части – ложную и истинную.
Обратная теорема утверждает: из Е не следует А . Её условие Е , из которое следует заключение А , является результатом доказательства прямой теоремы обычным математическим методом. Это условие необходимо сохранить и дополнить утверждением из Е следует А . В результате дополнения получается противоречивое условие новой обратной теоремы: из Е следует А и из Е не следует А . Исходя из этого логически противоречивого условия, обратную теорему можно доказать посредством правильного логического рассуждения только, и только, логическим методом от противного. В доказательстве от противного любые математические действия и операции подчинены логическим и поэтому в счёт не идут.
В первой части противоречивого утверждения из Е следует А условие Е было доказано доказательством прямой теоремы. Во второй его части из Е не следует А условие Е было предположено и принято без доказательства. Какое-то из них одно является ложным, а другое – истинным. Требуется доказать, какое из них является ложным.
Доказываем посредством правильного логического рассуждения и обнаруживаем, что его результатом является ложное, абсурдное заключение. Причиной ложного логического заключения является противоречивое логическое условие теоремы, заключающее в себе две части – ложную и истинную. Ложной частью может быть только утверждение из Е не следует А , в котором Е было принято без доказательства. Именно этим оно отличается от Е утверждения из Е следует А , которое доказано доказательством прямой теоремы.
Следовательно, истинным является утверждение: из Е следует А , что и требовалось доказать.
Вывод : логическим методом от противного доказывается только та обратная теорема, которая имеет доказанную математическим методом прямую теорему и которую математическим методом доказать невозможно.
Полученный вывод приобретает исключительное по важности значение в отношении к методу доказательства от противного великой теоремы Ферма. Подавляющее большинство попыток её доказать имеет в своей основе не обычный математический метод, а логический метод доказательства от противного. Доказательство большой теоремы Ферма Уайлса не является исключением.
Дмитрий Абраров в статье «Теорема Ферма: феномен доказательств Уайлса» опубликовал комментарий к доказательству большой теоремы Ферма Уайлсом. По Абрарову, Уайлс доказывает большую теорему Ферма с помощью замечательной находки немецкого математика Герхарда Фрея (р. 1944), связавшего потенциальное решение уравнения Ферма x n + y n = z n
, где n > 2
, с другим, совершенно непохожим на него, уравнением. Это новое уравнение задаётся специальной кривой (названной эллиптической кривой Фрея). Кривая Фрея задаётся уравнением совсем несложного вида:
.
«А именно Фрей сопоставил всякому решению (a, b, c) уравнение Ферма, то есть числам, удовлетворяющим соотношению a n + b n = c n , указанную выше кривую. В этом случае отсюда следовала бы великая теорема Ферма». (Цитата по: Абраров Д. «Теорема Ферма: феномен доказательств Уайлса»)
Другими словами, Герхард Фрей предположил, что уравнение большой теоремы Ферма x n + y n = z n
, где n > 2
, имеет решения в целых положительных числах. Этими же решения являются, по предположению Фрея, решениями его уравнения
y 2 + x (x — a n) (y + b n) = 0
, которое задаётся его эллиптической кривой.
Эндрю Уайлс принял эту замечательную находку Фрея и с её помощью посредством математического метода доказал, что этой находки, то есть эллиптической кривой Фрея, не существует. Поэтому не существует уравнения и его решений, которые задаются несуществующей эллиптической кривой, Поэтому Уайлсу следовало бы принять вывод о том, что не существует уравнения большой теоремы Ферма и самой теоремы Ферма. Однако им принимается более скромное заключение том, что уравнение большой теоремы Ферма не имеет решений в целых положительных числах.
Неопровержимым фактом может являться то, что Уайлсом принято предположение, прямо противоположное по смыслу тому, что утверждается большой теоремой Ферма. Оно обязывает Уайлса доказывать большую теорему Ферма методом от противного. Последуем и мы его примеру и посмотрим, что из этого примера получается.
В большой теореме Ферма утверждается, что уравнение, x n + y n = z n , где n > 2 , не имеет решений в целых положительных числах.
Согласно логическому методу доказательства от противного, это утверждение сохраняется, принимается как данное без доказательства, и затем дополняется противоположным по смыслу утверждением: уравнение x n + y n = z n , где n > 2 , имеет решения в целых положительных числах.
Предположенное утверждение так же принимается как данное, без доказательства. Оба утверждения, рассматриваемые с точки зрения основных законов логики, являются одинаково допустимыми, равноправными и одинаково возможными. Посредством правильного рассуждения требуется установить, именно какое из них является ложным, чтобы затем установить, что другое утверждение является истинным.
Правильное рассуждение завершается ложным, абсурдным заключением, логической причиной которого может быть только противоречивое условие доказываемой теоремы, заключающее в себе две части прямо противоположного смысла. Они и явились логической причиной абсурдного заключения, результата доказательства от противного.
Однако в ходе логически правильного рассуждения не было обнаружено ни одного признака, по которому можно было бы установить, какое именно утверждение является ложным. Им может быть утверждение: уравнение x n + y n = z n , где n > 2 , имеет решений в целых положительных числах. На этом же основании им может быть утверждение: уравнение x n + y n = z n , где n > 2 , не имеет решений в целых положительных числах.
В итоге рассуждения вывод может быть только один: большую теорему Ферма методом от противного доказать невозможно .
Было бы совсем другое дело, если бы большая теорема Ферма была обратной теоремой, которая имеет прямую теорему, доказанную обычным математическим методом. В этом случае её можно было доказать от противного. А так как она является прямой теоремой, то её доказательство должно иметь в своей основе не логический метод доказательства от противного, а обычный математический метод.
По словам Д. Абрарова, самый известный из современных российских математиков академик В. И. Арнольд на доказательство Уайлса отреагировал «активно скептически». Академик заявил: «это не настоящая математика – настоящая математика геометрична и сильна связями с физикой».(Цитата по: Абраров Д. «Теорема Ферма: феномен доказательств Уайлса». Заявление академика выражает самую сущность нематематического доказательства Уайлса большой теоремы Ферма.
Методом от противного невозможно доказать ни того, что уравнение большой теоремы Ферма не имеет решений, ни того, что оно имеет решения. Ошибка Уайлса не математическая, а логическая — использование доказательства от противного там, где его использование не имеет смысла и большой теоремы Ферма не доказывает.
Не доказывается большая теорема Ферма и с помощью обычного математического метода, если в ней дано: уравнение x n + y n = z n , где n > 2 , не имеет решений в целых положительных числах, и если в ней требуется доказать: уравнение x n + y n = z n , где n > 2 , не имеет решений в целых положительных числах. В такой форме имеется не теорема, а тавтология, лишённая смысла.
Примечание. Моё доказательство БТФ обсуждалось на одном из форумов. Один из участников Trotil, специалист в теории чисел, сделал следующее авторитетное заявление под названием: «Краткий пересказ того, что сделал Миргородский». Привожу его дословно:
«А. Он доказал, что если z 2 = x 2 + y , то z n > x n + y n . Это хорошо известный и вполне очевидный факт.
В. Он взял две тройки — пифагорову и не пифагорову и показал простым перебором, что для конкретного, определённого семейства троек (78 и 210 штук) БТФ выполняется (и только для него).
С. А затем автором опущен тот факт, что из < в последующей степени может оказаться = , а не только > . Простой контрпример — переход n = 1 в n = 2 в пифагоровой тройке.
D. Этот пункт ничего существенного в доказательство БТФ не вносит. Вывод: БТФ не доказана».
Рассмотрю его заключение по пунктам.
А. В нём доказана БТФ для всего бесконечного множества троек пифагоровых чисел. Доказана геометрическим методом, который, как я полагаю, мной не открыт, а переоткрыт. А открыт он был, как я полагаю, самим П. Ферма. Именно его мог иметь в виду Ферма, когда писал:
«Я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком узки». Данное моё предположение основано на том, что в задаче Диофанта, против которой, на полях книги, писал Ферма, речь идёт о решениях диофантова уравнения, которыми являются тройки пифагоровых чисел.
Бесконечное множество троек пифагоровых чисел является решениями диофатова уравнения, а в теореме Ферма, наоборот, ни одно из решений не может быть решением уравнения теоремы Ферма. И к этому факту поистине чудесное доказательство Ферма имеет непосредственное отношение. Позже Ферма мог распространить свою теорему на множество всех натуральных чисел. На множестве всех натуральных чисел БТФ не относится к «множеству исключительно красивых теорем». Это — моё предположение, которое ни доказать, ни опровергнуть невозможно. Его можно и принимать и отвергать.
В. В данном пункте мной доказывается, что как семейство произвольно взятой пифагоровой тройки чисел, так и семейство произвольно взятой не пифагоровой тройки чисел БТФ выполняется, Это — необходимое, но недостаточное и промежуточное звено в моём доказательстве БТФ. Взятые мной примеры семейства тройки пифагоровых чисел и семейства тройки не пифагоровых чисел имеют значение конкретных примеров, предполагающих и не исключающих существование аналогичных других примеров.
Утверждение Trotil, что я «показал простым перебором, что для конкретного, определённого семейства троек (78 и 210 штук) БТФ выполняется (и только для него) лишено основания. Он не может опровергнуть того факта, что я с таким же успехом могу взять другие примеры пифагоровой и не пифагоровой тройки для получения конкретного определённого семейства одной и другой тройки.
Какую пару троек я ни взял бы, проверка их пригодности для решения задачи может быть осуществлена, на мой взгляд, только методом «простого перебора». Какой-то другой метод мне не известен и не требуется. Если он пришёлся не по вкусу Trotil, то ему следовало бы предложить другой метод, чего он не делает. Не предлагая ничего взамен, осуждать «простой перебор», который в данном случае незаменим, некорректно.
С. Мною опущено = между < и < на основании того, что в доказательстве БТФ рассматривается уравнение z 2 = x 2 + y (1), в котором степень n > 2 — целое положительное число. Из равенства, находящегося между неравенствами следует обязательное рассмотрение уравнения (1) при нецелом значении степени n > 2 . Trotil, считая обязательным рассмотрение равенства между неравенствами, фактически считает необходимым в доказательстве БТФ рассмотрение уравнения (1) при нецелом значении степени n > 2 . Я это сделал для себя и обнаружил, что уравнение (1) при нецелом значении степени n > 2 имеет решением тройку чисел: z, (z-1), (z-1) при нецелом показателе степени.
Интерес к математике обозначился у Ферма как-то неожиданно и в достаточно зрелом возрасте. В 1629 г. в его руки попадает латинский перевод работы Паппа, содержащий краткую сводку результатов Аполлония о свойствах конических сечений. Ферма, полиглот, знаток права и античной филологии, вдруг задается целью полностью восстановить ход рассуждений знаменитого ученого. С таким же успехом современный адвокат может попытаться самостоятельно воспроизвести все доказательства по монографии из проблем, скажем, алгебраической топологии. Однако, немыслимое предприятие увенчивается успехом. Более того, вникая в геометрические построения древних, он совершает удивительное открытие: для нахождения максимумов и минимумов площадей фигур не нужны хитроумные чертежи. Всегда можно составить и решить некое простое алгебраическое уравнение, корни которого определяют экстремум. Он придумал алгоритм, который станет основой дифференциального исчисления.Он быстро продвинулся дальше. Он нашел достаточные условия существования максимумов, научился определять точки перегиба, провел касательные ко всем известным кривым второго и третьего порядка. Еще несколько лет, и он находит новый чисто алгебраический метод нахождения квадратур для парабол и гипербол произвольного порядка (то есть интегралов от функций вида y p = Cx q и y p x q = С ), вычисляет площади, объемы, моменты инерции тел вращения. Это был настоящий прорыв. Чувствуя это, Ферма начинает искать общения с математическими авторитетами того времени. Он уверен в себе и жаждет признания.
В 1636 г. он пишет первое письмо Его преподобию Марену Мерсенну: ”Святой отец! Я Вам чрезвычайно признателен за честь, которую Вы мне оказали, подав надежду на то, что мы сможем беседовать письменно; ...Я буду очень рад узнать от Вас о всех новых трактатах и книгах по Математике, которые появилась за последние пять-шесть лет. ...Я нашел также много аналитических методов для различных проблем, как числовых, так и геометрических, для решения которых анализ Виета недостаточен. Всем этим я поделюсь с Вами, когда Вы захотите, и притом без всякого высокомерия, от которого я более свободен и более далек, чем любой другой человек на свете.”
Кто такой отец Мерсенн? Это францисканский монах, ученый скромных дарований и замечательный организатор, в течении 30 лет возглавлявший парижский математический кружок, который стал подлинным центром французской науки. В последствии кружок Мерсенна указом Людовика XIV будет преобразован в Парижскую академию наук. Мерсенн неустанно вел огромную переписку, и его келья в монастыре ордена минимов на Королевской площади была своего рода “почтамтом для всех ученых Европы, начиная от Галилея и кончая Гоббсом”. Переписка заменяла тогда научные журналы, которые появились значительно позже. Сборища у Мерсенна происходили еженедельно. Ядро кружка составляли самые блестящие естествоиспытатели того времен: Робервиль, Паскаль-отец, Дезарг, Мидорж, Арди и конечно же, знаменитый и повсеместно признанный Декарт. Рене дю Перрон Декарт (Картезий), дворянская мантия, два родовых поместья, основоположник картезианства, “отец” аналитической геометрии, один из основателей новой математики, а так же друг и товарищ Мерсенна по иезуитскому колледжу. Этот замечательный человек станет кошмаром для Ферма.
Мерсенн счел результаты Ферма достаточно интересными, чтобы ввести провинциала в свой элитный клуб. Ферма тут же завязывает переписку со многими членами кружка и буквально засыпает письмами самого Мерсенна. Кроме того, он отсылает на суд ученых мужей законченные рукописи: “Введение к плоским и телесным местам”, а год спустя - “Способ отыскания максимумов и минимумов” и “Ответы на вопросы Б. Кавальери”. То, что излагал Ферма, была абсолютная новь, однако сенсация не состоялась. Современники не содрогнулись. Они мало, что поняли, но зато нашли однозначные указание на то, что идею алгоритма максимизации Ферма заимствовал из трактата Иоханнеса Кеплера с забавным названием “Новая стереометрия винных бочек”. Действительно, в рассуждения Кеплера встречаются фразы типа “Объем фигуры наибольший, если по обе стороны от места наибольшего значения убывание сначала нечувствительно”. Но идея малости приращения функции вблизи экстремума вовсе не носилась в воздухе. Лучшие аналитические умы того времени были не готовы к манипуляциям с малыми величинами. Дело в том, что в то время алгебра считалась разновидностью арифметики, то есть математикой второго сорта, примитивным подручным средством, разработанным для нужд низменной практики (“хорошо считают только торговцы”). Традиция предписывала придерживаться сугубо геометрических методов доказательств, восходящих к античной математике. Ферма первый понял, что бесконечно малые величины можно складывать и сокращать, но довольно затруднительно изображать в виде отрезков.
Понадобилось почти столетие, чтобы Жан д’Аламбер в знаменитой “Энциклопедии” признал: “Ферма был изобретателем новых исчислений. Именно у него мы встречаем первое приложение дифференциалов для нахождения касательных”. В конце XVIII века еще более определенно выскажется Жозеф Луи граф де Лагранж: “Но геометры - современники Ферма - не поняли этого нового рода исчисления. Они усмотрели лишь частные случаи. И это изобретение, которое появилось незадолго перед “Геометрией” Декарта, оставалось бесплодным в течении сорока лет”. Лагранж имеет в виду 1674 г., когда вышли в свет “Лекции” Исаака Барроу, подробно освещавшие метод Ферма.
Кроме всего прочего быстро обнаружилось, что Ферма более склонен формулировать новые проблемы, нежели, чем смиренно решать задачи, предложенные метрами. В эпоху дуэлей обмен задачами между учеными мужами был общепринят, как форма выяснения проблем, связанных с субординацией. Однако Ферма явно не знает меры. Каждое его письмо - это вызов, содержащий десятки сложных нерешенных задач, причем на самые неожиданные темы. Вот образчик его стиля (адресовано Френиклю де Бесси): “Item, каков наименьший квадрат, который при уменьшении на 109 и прибавлении единицы даст квадрат? Если Вы не пришлете мне общего решения, то пришлите частное для этих двух чисел, которые я выбрал небольшими, чтобы Вас не очень затруднить. После того как Я получу от Вас ответ, я предложу Вам некоторые другие вещи. Ясно без особых оговорок, что в моем предложении требуется найти целые числа, поскольку в случае дробных чисел самый незначительный арифметик смог бы прийти к цели.” Ферма часто повторялся, формулируя одни и те же вопросы по несколько раз, и откровенно блефовал, утверждая, что располагает необыкновенно изящным решением предложенной задачи. Не обходилось и без прямых ошибок. Некоторые из них были замечены современниками, а кое какие коварные утверждения вводили в заблуждение читателей в течении столетий.
Кружок Мерсенна прореагировал адекватно. Лишь Робервиль, единственный член кружка, имевший проблемы с происхождением, сохраняет дружеский тон писем. Добрый пастырь отец Мерсенн пытался вразумить “тулузского нахала”. Но Ферма не намерен оправдываться: ”Преподобный отец! Вы мне пишете, что постановка моих невозможных проблем рассердила и охладила господ Сен-Мартена и Френикля и что это послужило причиной прекращения их писем. Однако я хочу возразить им, что то, что кажется сначала невозможным, на самом деле не является таковым и что есть много проблем, о которых, как сказал Архимед... ” и т.д..
Однако Ферма лукавит. Именно Френиклю он послал задачу о нахождении прямоугольного треугольника с целочисленными сторонами, площадь которого равна квадрату целого числа. Послал, хотя знал, что задача заведомо не имеет решения.
Самую враждебную позицию по отношению к Ферма занял Декарт. В его письме Мерсенну от 1938 г. читаем: “так как я узнал, что это тот самый человек который перед тем пытался опровергнуть мою “Диоптрику”, и так как Вы сообщили мне, что он послал это после того, как прочел мою “Геометрию” и в удивлении, что я не нашел ту же вещь, т. е. (как имею основание его истолковать) послал это с целью вступить в соперничество и показать, что в этом он знает больше, чем я, и так как еще из ваших писем я узнал, что за ним числится репутация весьма сведущего геометра, то я считаю себя обязанным ему ответить.” Свой ответ Декарт в последствии торжественно обозначит как “малый процесс Математики против г. Ферма”.
Легко понять, что привело в ярость именитого ученого. Во-первых, в рассуждениях Ферма постоянно фигурируют координатные оси и представление чисел отрезками - прием, который Декарт всесторонне развивает в своей только что изданной “Геометрии”. Ферма приходит к идее замены чертежа вычислениями совершенно самостоятельно, в чем-то он даже более последователен, чем Декарт. Во-вторых, Ферма блестяще демонстрирует эффективность своего метода нахождения минимумов на примере задачи о кратчайшем пути светового луча, уточняя и дополняя Декарта с его “Диоптрикой”.
Заслуги Декарта как мыслителя и новатора огромны, но откроем современную “Математическую энциклопедию” и просмотрим список терминов связанных с его именем: “Декартовы координаты” (Лейбниц, 1692) , “Декартов лист”, “Декарта овалы ”. Ни одно из его рассуждений не вошло в историю как “Теорема Декарта”. Декарт в первую очередь идеолог: он основатель философской школы, он формирует понятия, совершенствует систему буквенных обозначений, но в его творческом наследии мало новых конкретных приемов. В противоположность ему Пьер Ферма мало пишет, но по любому поводу может придумать массу остроумных математических трюков (см. там же “Теорема Ферма”, ”Принцип Ферма”, ”Метод бесконечного спуска Ферма”). Вероятно, они вполне справедливо завидовали друг другу. Столкновение было неизбежно. При иезуитском посредничестве Мерсенна разгорается война, длившаяся два года. Впрочем, Мерсенн и здесь оказался прав перед историей: яростная схватка двух титанов, их напряженная, мягко говоря, полемика способствовала осмыслению ключевых понятий математического анализа.
Первым теряет интерес к дискуссии Ферма. По-видимому, он напрямую объяснился с Декартом и больше никогда не задевал соперника. В одной из своих последних работ “Синтез для рефракции”, рукопись которой он послал де ла Шамбру, Ферма через слово поминает “ученейшего Декарта” и всячески подчеркивает его приоритет в вопросах оптики. Между тем именно эта рукопись содержала описание знаменитого “принципа Ферма”, который обеспечивает исчерпывающее объяснение законов отражения и преломления света. Реверансы в сторону Декарта в работе такого уровня были совершенно излишни.
Что же произошло? Почему Ферма, отложив в сторону самолюбие, пошел на примирение? Читая письма Ферма тех лет (1638 - 1640 гг.), можно предположить самое простое: в этот период его научные интересы резко изменились. Он забрасывает модную циклоиду, перестает интересоваться касательными и площадями, и на долгие 20 лет забывает о своем методе нахождения максимума. Имея огромные заслуги в математике непрерывного, Ферма целиком погружается в математику дискретного, оставив опостылевшие геометрические чертежи своим оппонентам. Его новой страстью становятся числа. Собственно говоря, вся “Теория чисел”, как самостоятельная математическая дисциплина, своим появлением на свет целиком обязана жизни и творчеству Ферма.
<…> После смерти Ферма его сын Самюэль издал в 1670 г. принадлежащий отцу экземпляр “Арифметики” под названием “Шесть книг арифметики александрийца Диофанта с комментариями Л. Г. Баше и замечаниями П. де Ферма, тулузского сенатора”. В книгу были включены также некоторые письма Декарта и полный текст сочинения Жака де Бильи “Новое открытие в искусстве анализа”, написанное на основе писем Ферма. Издание имело невероятный успех. Перед изумленными специалистами открылся невиданный яркий мир. Неожиданность, а главное доступность, демократичность теоретико-числовых результатов Ферма породили массу подражаний. В то время мало кто понимал как вычисляется площадь параболы, но каждый школяр мог осознать формулировку Великой теоремы Ферма. Началась настоящая охота за неизвестными и утерянными письмами ученого. До конца XVII в. было издано и переиздано каждое найденное его слово. Но бурная история развития идей Ферма только начиналась.
